domingo, 22 de mayo de 2016
Pasos para resolver un problema
La resolución de un problema es más sencilla si tenemos en cuenta algunos pasos:
sábado, 21 de mayo de 2016
Secuencia Didáctica
Secuencia Didáctica
Materia en la que se implementará
y año
Ø Matemática
Tema
Ø Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos
incógnitas
Contenidos
Ø Resolución de problemas.
Conocimientos previos
Ø Resolución de sistemas de
ecuaciones con los métodos analíticos y gráficos..
Ø Conocimiento y traducción del
lenguaje simbólico, coloquial y algebraico.
Ø Gráficas de funciones lineales
conociendo pendientes y ordenada.
Objetivos
Ø Resolver situaciones
problemáticas con sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas e
interpretar las soluciones.
Ø Utilizar diferentes métodos en
resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Ø Clasificar a los sistemas de
ecuaciones de acuerdo a las soluciones.
Fundamentación
Con esta secuencia
didáctica se pretende que los alumnos además de resolver algoritmos,
desarrollen el pensamiento matemático a partir de razonamientos inductivos
y resolución de problemas, fomentando el
debate entre pares y docentes, y promoviendo la motivación de los alumnos en la
construcción del aprendizaje matemático.
Al mismo tiempo,
mediante la resolución de problemas matemáticos, los estudiantes adquieren
modos de pensamientos adecuados, hábitos de persistencia, curiosidad y
confianza antes situaciones no familiares que les serán útiles fuera de la
clase de matemática. Incluso en la vida diaria y profesional es importante ser
un buen resolutor de problemas.
Hipertexto
Definición:
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas, x e y, se expresa como:
ax + by = c
a'x + b'y = c'
Llamamos solución del sistema anterior, a un par de valores,
uno para x y otro para y que verifican o satisfacen las dos ecuaciones del
sistema.
Los sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas se clasifican según el número de soluciones que tienen en:
a)
Compatibles Determinados: la solución es única.
b)
Compatibles Indeterminados: tienen infinitas soluciones.
2) Sistemas Incompatibles: cuando
no tienen solución.
Interpretación Geométrica de las
soluciones:
La
interpretación Geométrica resulta bastante evidente pues la
representación de cada ecuación lineal se corresponde con una recta, de manera
que:
Ê Cuando el sistema sea compatible
determinado (tenga una única solución), entonces las rectas
serán secantes (se
cortan en un sólo punto).
Ê Cuando el sistema sea compatible
indeterminado (tenga infinitas soluciones), entonces las rectas
serán coincidentes (se
cortan en infinitos puntos).
Ê Cuando el sistema sea incompatible (no
tenga solución), entonces las dos rectas
serán paralelas (no
tienen ningún punto en común).
Resolución de sistemas de ecuaciones:
Resolver
un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es hallar la/s solución/es de
dicho sistema (en caso de tener alguna).
Métodos de Resolución
Resolución de problemas:
En
la resolución de problemas mediante sistemas, resulta imprescindible entender
el lenguaje algebraico, y traducir el enunciado del problema del lenguaje
usual o cotidiano al lenguaje algebraico. Resulta de igual modo importante,
dejar bien claro qué va a representar cada una de las dos incógnitas del
sistema.
Tener
un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para
lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata.
Los
pasos a seguir en la resolución de un problema son:
1.
Comprender el problema (leer e
identificar los datos).
2.
Concebir un plan (armar las
ecuaciones del sistema).
3.
Ejecutar el plan (resolver el
sistema).
4.
Verificar la solución obtenida.
Actividades
Actividad Nº 1:
Sean
los siguientes sistemas de ecuaciones:
a.
3x + 4y = 150
3x + 4y = 150
1x + 2y = 60
b. 1x + 5 = 1y
2x + 2y = 18
c.
2x + 2y = 18
2x + 2y = 18
1x + 5 = 1y
a a) Despejar la incógnita “y” de las
dos ecuaciones.
b) Indicar la pendiente y ordenada al origen en cada ecuación.
c) Graficar las rectas utilizando el Geogebra.
d) ¿Cómo son las rectas?
e) ¿Cuál es la solución de cada sistema?
b) Indicar la pendiente y ordenada al origen en cada ecuación.
c) Graficar las rectas utilizando el Geogebra.
d) ¿Cómo son las rectas?
e) ¿Cuál es la solución de cada sistema?
Actividad Nº2:
Resolver el siguiente problema:
En Economía se llama “recta de
balance” al conjunto de las combinaciones máximas de dos bienes que el
consumidor puede comprar con una cantidad fija de dinero (se supone que se
gasta todo y que el precio de cada bien permanece fijo en el período
estudiado). Veamos un ejemplo. Una persona separa $60 para gastar durante el
mes en carne de vaca o de pollo. El kilogramo de carne de vaca cuesta $2 y el
de pollo, $4. Gastando todo el dinero que separó, podría comprar 15 kg. de pollo
durante el mes; si no, podría comprar 6 kg. de carne de vaca pero entonces,
sólo podría comprar 12 kg. de pollo.
a. Encuentren por lo menos otras
cuatro combinaciones más, usando todo el dinero.
b. Ubiquen en un gráfico los
valores que obtuvieron. Para poder comparar con los gráficos de sus compañeros,
ubiquen la cantidad de carne de vaca en el eje de abscisas y la de pollo, en el
de ordenadas.
c. A partir de la representación
gráfica, ¿pueden anticipar dónde se graficarían otras combinaciones posibles?
¿Cuántas soluciones hay?
d. Escriban una ecuación que
relacione ambas cantidades comparadas con los $60 disponibles. Esa es la
expresión que se llama “recta de balance”. ¿Es una recta, en este caso?
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?
e . ¿En qué cambiaría la situación
para otra persona que tuviera $80 para gastar en esos productos?¿Cómo se
refleja el cambio en el gráfico? (Supongan que los precios se mantienen
constantes).
ACTIVIDAD Nº 3
Representen gráficamente la
ecuación 3x - 2y = a para algún valor de a que elijan.
a. En el gráfico, ¿qué representa
al conjunto solución?
b. Elijan otro valor de a y
representen la nueva recta en el mismo gráfico. Si las soluciones del sistema formado
por ambas ecuaciones están representadas por los puntos de intersección de las rectas
en el gráfico, ¿cuántas soluciones tiene el sistema? Resuelvan el sistema
analíticamente y comprueben si los resultados coinciden.
c. ¿Pueden elegir un nuevo valor
para a y plantear otra ecuación de manera que resulte un sistema cuya única
solución sea el punto (1,0)? Analicen gráficamente la respuesta. ¿Cuántas rectas
pasan por el punto (1,0)? ¿Es única la respuesta en el caso anterior?
Para investigar
Busquen ejemplos de problemas en la
web y actividades en las cuáles tengan que resolver sistemas. Para ello les
recomiendo los siguientes link:
Problemas
Colección de problemas
Como el visitante puede comprobar al observar el índice los problemas se han clasificado simplemente por el contexto al que hace referencia su enunciado.
- En la granja
- En el instituto
- En el centro comercial
- Trabajando con números
- Contando monedas
- Asuntos de familia
- Obreros
- Cuestiones de Geometría
- Medidas antiguas
- Viajes
- Grifos y depósitos
- Relojes
En la granja
1. En una granja se crían crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
2. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay?
3. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas).
4. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?
5. Se quieren mezclar vino de 60 ptas. con otro de 35 ptas., de modo que resulte vino con un precio de 50 ptas. el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?
En el instituto
6. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente?
7. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos chicos y chicas están en mi clase?
En el centro comercial
8. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de café y 3 de azúcar, por lo que paga 1530 ptas. Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al día siguiente y compra 1 Kg. de café y 10 Kg. de azúcar por lo que paga 825 ptas. No se fija en el precio y plantea el problema a su hijo de 13 años. Este después de calcular lo que su madre hubiera pagado por 6 Kg de café y 60 de azúcar halla el precio de cada artículo. ¿Podrías llegar tú a resolver el problema?
9. Con 1000 ptas. que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 paquetes de leche entera y leche semidesnatada por un total de 960 ptas. Si el paquete de leche entera cuesta 115 ptas. y el de semidesnatada 90 ptas. ¿Cuántos paquetes ha comprado de cada tipo?
10. En un puesto de verduras se han vendido 2 Kg de naranjas y 5 Kg de patatas por 835 ptas. y 4 Kg de naranjas y 2 Kg de patatas por 1.285 ptas. Calcula el precio de los kilogramos de naranja y patata.
11. Un comerciante de ultramarinos vende el Kg de azúcar a 120 ptas. Además, tiene café de dos clases; cuando toma 2 Kg de la primera calidad y 3 Kg de la segunda resulta la mezcla a 75 ptas. el Kg y cuando toma 3 Kg de la primera clase y 2 Kg de la segunda entonces resulta la mezcla a 80 ptas. el Kg ¿Cuál es el precio de cada calidad de café?
12. El día del estreno de una película se vendieron 600 entradas y se recaudaron 196.250 ptas. Si los adultos pagaban 400 ptas. y los niños 150 ptas. ¿Cuál es el número de adultos y niños que acudieron?
13. En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a 800 ptas. y otros a 1200 ptas. con los que han obtenido 19.200 ptas. ¿Cuántos libros han vendido de cada precio?
14. En una pastelería se fabrican dos clases de tartas. La primera necesita 2'4 Kg de masa y 3 horas de elaboración. La segunda necesita 4 Kg de masa y 2 horas de elaboración. Calcula el número de tartas elaboradas de cada tipo si se han dedicado 67 horas de trabajo y 80 Kg de masa.
15. Un pastelero compra dulces a 65 ptas. la unidad y bombones a 25 ptas. cada uno por un total de 585 ptas. Como se le estropean 2 pasteles y 5 bombones calcula que si vende cada bombón a 3 ptas. más y cada pastel a 5 ptas. más de lo que le costaron perdería en total 221 ptas. ¿Cuántos pasteles y bombones compró?
Trabajando con números
16. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.
17. Un número consta de dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de las cifras el resultado es igual al número dado más 9 unidades. Halla dicho número.
18. Determina dos números tales que la diferencia de sus cuadrados es 120 y su suma es 6.
19. Halla una fracción equivalente a 3/5 cuyos términos elevados al cuadrado sumen 544.
20. Calcula dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 193 y la diferencia sea 95.
21. Un número está formado por dos cifras cuya suma es 15. Si se toma la cuarta parte del número y se le agregan 45 resulta el número con las cifras invertidas. ¿Cuál es el número?
22. Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea cuádruple del menor.
23. Calcula el valor de dos números sabiendo que suman 51 y que si al primero lo divides entre 3 y al segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1.
Contando monedas
24. Tengo 30 monedas. Unas son de cinco ptas. y otras de una pta. ¿Puedo tener en total 78 ptas.?
25. Juan y Roberto comentan:
Juan: "Si yo te tomo 2 monedas, tendré tantas como tú"
Roberto: "Sí, pero si yo te tomo 4, entonces tendré 4 veces más que tú".
¿Cuántas monedas tienen cada uno?
Juan: "Si yo te tomo 2 monedas, tendré tantas como tú"
Roberto: "Sí, pero si yo te tomo 4, entonces tendré 4 veces más que tú".
¿Cuántas monedas tienen cada uno?
26. En una bolsa hay 16 monedas con un valor de 220 ptas. Las monedas son de 5 y 25 ptas. ¿Cuántas monedas hay de cada valor?
27. Tenía muchas monedas de 1 pta. y las he cambiado por duros. Ahora tengo la misma cantidad pero 60 monedas menos. ¿Cuánto dinero tengo?
28. En la fiesta de una amigo se han repartido entre los 20 asistentes el mismo número de monedas. Como a última hora ha acudido un chico más nos han dado a todos 1 moneda menos y han sobrado 17. ¿Cuantas monedas para repartía se tenía?
Asuntos de familia
29. El otro día mi abuelo de 70 años de edad quiso repartir entre sus nietos cierta cantidad de dinero. Si nos daba 300 ptas. a cada uno le sobraba 600 ptas. y si no daba 500 ptas. le faltaba 1000. ¿Cuántos nietos tiene? ¿Qué cantidad quería repartir?
30. Al preguntar en mi familia cuántos hijos son, yo respondo que tengo tantas hermanas como hermanos y mi hermana mayor responde que tiene doble número de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hijos e hijas somos?
31. Hace 5 años la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5 años sólo será el duplo. ¿Cuáles son las edades de mi padre y de mi hermano?
32. Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene 50 años más que mi hermano, ¿qué edad tienen cada uno?
33. Mi padrino tiene 80 años y me contó el otro día que entre nietas y nietos suman 8 y que si les diese 1.000 ptas. a cada nieta y 500 a cada nieto se gastaría 6.600 ptas. ¿Cuántos nietos y nietas tiene mi padrino?
34. Sabemos que mi tío tiene 27 años más que su hijo y que dentro de 12 años le doblará la edad. ¿Cuántos años tiene cada uno?
35. La edad de mi tía, hoy es el cuadrado de la de su hija; pero dentro de nueve años será solamente el triple. ¿Qué edad tiene cada una?
36. Mi tío le dijo a su hija. "Hoy tu edad es 1/5 de la mía y hace 7 años no era más que 1/7". ¿Qué edad tienen mi tío y su hija?
Obreros
37. Un obrero ha trabajado durante 30 días para dos patrones ganando 207.000 ptas. El primero le pagaba 6.500 ptas. diarias y el segundo 8.000 ptas. ¿Cuantos días trabajó para cada patrón?
38. Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primero gana 500 ptas. diarias menos que el segundo; pero ha trabajado durante 30 jornadas mientras que el primero sólo 24. Si el primero ha ganado 33.000 ptas. más que el segundo calcula el salario diario de cada obrero.
Cuestiones de Geometría
39. Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 52 metros más de largo que de ancho.
40. Un rectángulo mide 40 m2 de área y 26 metros de perímetro. Calcula sus dimensiones.
41. El perímetro de un rectángulo mide 36 metros. Si se aumenta en 2 metros su base y se disminuye en 3 metros su altura el área no cambia. Calcula las dimensiones del rectángulo.
42. Calcula las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye la altura en otros 5 la superficie no varía; pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4, la superficie aumenta en 4 metros cuadrados.
43. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos?
44. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo?
45. La altura de un trapecio isósceles mide 4 cm, la suma de las bases es de 14 cm, y los lados oblicuos miden 5 cm. Averigua las bases del trapecio.
46. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. Calcula los catetos.
47. La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos las aumentamos en 2 m el área aumenta en 16 m2. Calcula las longitudes de las diagonales, el perímetro y el área de dicho rombo.
48. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y 20 cm. Calcula la altura del trapecio.
Medidas antiguas
49. En un pueblo, hace muchos años, se utilizaba, como unidades de medida de peso, la libra y la onza. Recientemente se encontró un documento del siglo pasado en el que aparecían los siguientes pasajes: "... pesando 3 libras y 4 onzas, es decir 1495 gramos..." y "... resultando 2 libras y 8 onzas, cuando el extranjero preguntó por el peso en gramos le contestaron 1150 gramos". ¿Sabrías calcular el valor, en gramos, de la libra y la onza?
50. En el mismo documento antes mencionado nos encontramos el siguiente pasaje: "... las dimensiones del mural eran 5 toesas y 3 pies de largo y 3 toesas y 5 pies de alto..." Como ese mural se conserva en la actualidad se ha medido con la máxima precisión posible: 4'82 m de largo por 2'988 m de alto. Con estos datos ¿puedes decir cuánto mide una toesa y un pie en metros?
Viajes
51. A las tres de la tarde sale de la ciudad un coche con una velocidad de 80 Km/h. Dos horas más tarde sale una moto en su persecución a una velocidad de 120 Km/h. ¿A qué hora lo alcanzará? ¿A qué distancia de la ciudad?
52. Dos pueblos, A y B, distan 155 Km. A la misma hora salen de cada pueblo un ciclista. El de A viaja a una velocidad de 25 Km/h y el de B a 33 Km/h. ¿A qué distancia de cada pueblo se encuentran? ¿Cuánto tiempo ha transcurrido?
53. Un crucero tiene habitaciones dobles (2 camas) y sencillas (1 cama). En total tiene 47 habitaciones y 79 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?
Grifos y depósitos
54. Dos grifos han llenado un depósito de 31 m3 corriendo el uno 7 horas y el otro 2 horas. Después llenan otro depósito 27 m3 corriendo el uno 4 horas y el otro 3 horas. ¿Cuántos litros vierte por hora cada grifo?
55. Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse abriendo los dos grifos a la vez?
56. Dos grifos alimentan simultáneamente un depósito tardando 2'4 horas en llenarlo. Si se abriera cada grifo por separado el primero tardaría 2 horas menos que el segundo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno de ellos en llenarlo de manera independiente?
Relojes
57. Un reloj señala las tres en punto. A partir de esa hora, ¿a qué hora coincidirán las manecillas por primera vez?
58. Un reloj señala las tres en punto. Por tanto las manecillas del reloj forman un ángulo recto. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que formen de nuevo un ángulo recto?
59. Un reloj marca las doce horas. ¿A qué hora la manecilla que marca los minutos se encontrará otra vez con la manecilla que marca la hora?
A responder...
ü
¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales con
dos incógnitas?
ü
¿Cuáles son sus aplicaciones?
ü
¿Podrías clasificarlos?
ü
¿Qué métodos se pueden utilizar para
resolverlos?
ü
Si queremos graficarlos, ¿qué nombre reciben sus
gráficas?
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